Jaromír Podešva pocházel z rodiny brněnského houslaře Jana Podešvy, kde měl od dětství příležitost k účasti na rodinném muzicírování (tehdy již hrál na klavír, housle a violu). V ranném věku začal komponovat skladby, vyrůstající z tehdy ještě nosných podnětů dvořákovsko-novákovské školy. Po maturitě na reálném gymnáziu v Brně - Židenicích v roce 1948 absolvoval jednoroční abiturientský kurz na brněnské konzervatoři (1946-47), poté v letech 1947-51 studoval skladbu u Jaroslava Kvapila na JAMU a u tohoto pedagoga pokračoval na brněnské akademii v tříleté aspirantuře.
V letech 1956 - 59 působil jako tvůrčí tajemník Svazu československých skladatelů v Praze a později byl v Brně předsedou tamní svazové pobočky. Od roku 1969 vyučoval na ostravské konzervatoři skladbu a hudební teorii (do roku 1990).

Osmiměsíční studijní pobyt - na stipendium UNESCO - v zemích západni Evropy a v USA (1960-61) významně ovlivnil Podešvův kompozični styl. Poznal zde mj. skladby tehdy nejvlivnějších západoevropských skladatelů K. H. Stockhausena, P. Bouleze a A. Honeggera a studoval u H. Dutilleuxe a A. Coplanda. Své poznatky zveřejnil v popularizačně zaměřené knize "Současná hudba na Západě" (Panton 1963). Vlastní skladatelskou praxí ověřené kompozični principy zobecnil v hudebně teoretických spisech "Možnosti kadence v dvanáctitónovém poli" (Panton 1974) a "Úvod do studia skladby" (v rkp.).